این سوال مربوط به دنباله‌های حسابی در ریاضی دهم است. در یک دنباله حسابی، جمله هفتم نصف جمله چهارم است. می‌خواهیم بدانیم کدام جمله از دنباله برابر صفر است.
فرض کنید دنباله حسابی به صورت زیر باشد:
\( a_n = a_1 + (n-1)d \)
طبق داده‌های سوال داریم:
\( a_7 = \frac{1}{2} a_4 \)
با استفاده از فرمول عمومی دنباله حسابی، این معادلات را می‌نویسیم:
\( a_7 = a_1 + 6d \)
\( a_4 = a_1 + 3d \)
قرار دادن داده‌ها در معادله داده‌شده در مسئله:
\( a_1 + 6d = \frac{1}{2} (a_1 + 3d) \)
با ساده‌سازی و حل این معادله داریم:
\( a_1 + 6d = \frac{1}{2}a_1 + \frac{3}{2}d \)
\( 2a_1 + 12d = a_1 + 3d \)
\( a_1 + 9d = 0 \)
در نهایت، جمله‌ای که برابر صفر است را پیدا می‌کنیم:
\( a_n = a_1 + (n-1)d = 0 \)
\( a_1 + (n-1)d = 0 \)
با جایگذاری مقدار \( a_1 = -9d \) در معادله بالا:
\( -9d + (n-1)d = 0 \)
\( (n-10)d = 0 \)
پس \( n = 10 \) است.
بنابراین جمله دهم برابر صفر است. پاسخ گزینه سوم (10) است.
